Question

已知a，b都是实数，且a≠0，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若f（x）≤

|a+b|+|a-b|

|a|

对满足条件的所有实数a，b都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，由f（x）＞2得

x≤1 3-2x＞2

，或

x＞2 2x-3＞2.

．求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值为2，可得f（x）≤2．再根据f（x）＞2的解集，求得f（x）≤2的解集．

解答： 解：（1）由题意可得 f(x)=

3-2x，x≤1 1，1＜x≤2 2x-3，x＞2.

，
由f（x）＞2得

x≤1 3-2x＞2

，或

x＞2 2x-3＞2.

．
解得x＜

1

2

，或x＞

5

2

，
即不等式的解集为(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)．
（2）∵

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，
∴f（x）≤2．
∵f（x）＞2的解为x＜

1

2

，或x＞

5

2

，
∴f（x）≤2的解为

1

2

≤x≤

5

2

．
∴所求实数x的范围为[

1

2

，

5

2

]．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．