Question

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥平面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求直线AE和平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（Ⅲ）建立坐标系，求出平面BCDE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AE和平面BCDE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点 
∴FG∥CD，且FG=

1

2

DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF?面ABC，BG?面ABC
∴EF∥面ABC；
（Ⅱ）证明：∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC，
∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC；
（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，

1

2

，0），E（1，0，1），B（1，0，0），C（0，-

1

2

，0）
∴

AE

=（1，-

1

2

，1），

BC

=（-1，-

1

2

，0），

BE

=（0，0，1）
设平面BCDE的法向量为

n

=（x，y，z），则

-x- y 2 =0 z=0

，故取

n

=（1，-2，0）
∴直线AE和平面BCDE所成角的正弦值为|

1+1

1+ 1 4 +1 • 5

|=

4 5

15

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，线面角，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．