Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²．
（1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知中已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|²，结合降次升角公式及和差角公式，将函数解析式化为正弦型函数，进而由正弦型函数的图象和性质，求出函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
（2）由（1）中函数解析式及2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求出自变量x的取值范围，可得函数y=f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）∵

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），
∴

a

•

b

=5

3

cosxsinx+2cos2x，|

b

|2=sin2x+4cos2x…（2分）
∴f(x)=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x=5

3

cosxsinx+6cos2x+sin2x…（3分）
=

5 3

2

sin2x+5

1+cos2x

2

+1=

5 3

2

sin2x+

5cos2x

2

+

7

2

…（5分）
=5(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)+

7

2

=5sin(2x+

π

6

)+

7

2

…（6分）
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π；                     …（7分）
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，
得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z为对称轴方程； …（9分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得：
kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z…（12分）
所以函数的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z…（13分）

点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，三角函数的周期性，对称性及单调区间，是三角函数图象和性质的综合应用，难度中档．