Question

已知函数f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数零点的存在的条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，即f（x）=（x²-mx+m）•e^x=0有解，
则等价为x²-mx+m=0有解，即△=m²-4m≥0，
解得m≥4或m≤0，
即实数m的取值范围m≥4或m≤0；
（Ⅱ）当m＜0时，函数的导数f′（x）=[x²+（2-m）x]e^x=x[x-（m-2）]•e^x，
∵m＜0，
∴由f′（x）＞0，得x＞0或x＜m-2；
由f′（x）＜0，得m-2＜x＜0；
故f（x）的递增区间为（0，+∞）和（-∞，m-2），f（x）的递减区间为（m-2，0）．

点评：本题主要考查函数零点的应用以及函数单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力．