Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3•（

3

2

）^n-1-1（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=

an+1

log 3 2 an+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并说明{a_n}是否为等比数列；
（2）求数列{

1

bn

}的前n项和前T_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）再写一式，两式相减，可得a_n=(

3

2

)n-1，由此可求数列{a_n}通项公式，从而判断{a_n}不是等比数列；
（2）确定

1

bn

=n•(

2

3

)n，利用错位相减求和即可

解答： 解：（1）n=1时，a₁=S₁=2；
n≥2时，S_n-1=3•（

3

2

）^n-2-1，
两式相减可得a_n=(

3

2

)n-1，
∴a_n=

2，n=1 ( 3 2 )n-1，n≥2

，
∴{a_n}不是等比数列；
（2）b_n=

an+1

log 3 2 an+1

=

1

n

•(

3

2

)n，
∴

1

bn

=n•(

2

3

)n，
∴T_n=

2

3

+2•(

2

3

)2+…+n•(

2

3

)n，
∴

2

3

T_n=(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+…+（n-1）•(

2

3

)n+n•(

2

3

)n+1，
两式相减整理可得T_n=6-（6+2n）•(

2

3

)n．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解通项公式，数列的错位相减求和方法的应用是求和的重点，要注意掌握