Question

如图，母线长为2的圆锥PO中，已知AB是半径为1的⊙O的直径，点C在AB弧上，D为AC的中点．
（1）求圆锥PO的表面积；
（2）证明：平面ACP⊥平面POD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）圆锥PO的表面积为S_侧+S_底；
（2）利用OA=OC，D为AC的中点，证明AC⊥OD，利用PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，证明PO⊥AC，从而AC⊥平面POD，即可证明平面ACP⊥平面POD．

解答： （1）解：由已知圆锥PO的表面积为S_侧+S_底=2π+π=3π；
（2）证明：连接OC，在△AOC中，
因为OA=OC，D为AC的中点，
所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以PO⊥AC
因为DO、PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD，
又因为AC?平面ACP，
所以平面ACP⊥平面POD．

点评：本题考查圆锥PO的表面积，考查线面、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面、面面垂直的判定定理是关键．