Question

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射到P点．求（1）光线所经过的路程是多少；（2）直线AB关于直线2x-y-2=0的对称直线．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．
（2）AB的方程为x+y=4，在直线AB关于直线2x-y-2=0的对称直线上任意取一点M（x，y），求得A关于直线2x-y-2=0的对称点N的坐标，再把点N的坐标代入AB的方程x+y=4，化简可得结果．

解答： 解：（1）点P关于y轴的对称点P′坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″（a，b），
∴

b-0 a-2 ×(-1)=-1 a+2 2 + b+0 2 -4=0

，解得

a=4 b=2

，∴光线所经过的路程|P′P″|=2

10

．
（2）AB的方程为x+y=4，在直线AB关于直线2x-y-2=0的对称直线上任意取一点M（x，y），
设A关于直线2x-y-2=0的对称点为N（x′，y′），
则由

y′-y x′-x •2=-1 2 x+x′ 2 - y+y′ 2 -2=0

 求得

x′= 14-5x 3 y′= 3y-4x+4 3

，即N（

14-5x

3

，

3y-4x+4

3

）．
再把点N的坐标代入AB的方程为x+y=4，化简可得3x-y-2=0，
即直线AB关于直线2x-y-2=0的对称直线方程为3x-y-2=0．

点评：本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程的方法，属于中档题．