Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，通过求导得到函数的极值点，从而求出极值．
（2）通过求解函数的导函数，通过：当0＜a＜2，a=2，a＞2，分别通过函数的导数列表，然后求函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
∴f′（x）=2x-3+

1

x

，
f′（x）＞0时，解得：x＞1，x＜

1

2

f（x）＜0时，解得：

1

2

＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，

1

2

），（1，+∞）递增，在（

1

2

，1）递减，
∴x=

1

2

是极大值点，x=1是极小值点，
∴f（

1

2

）=-

5

4

-ln2，f（1）=-2．
（2）f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(ax-1)(2x-1)

x

，
①当0＜a＜2时，
当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

2

，

1

a

）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
②当a=2时，f′（x）=

(2x-1)2

x

，对一切x∈（0，+∞）恒成立，
当且仅当x=1时f′（x）=0，函数是单调增函数，单调增区间（0，+∞）
③当a＞2时，
综上：当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

a

，

1

2

）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
当0＜a＜2时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞），单调减区间是（

1

2

，

1

a

）．
当a=2时，函数的单调增区间（0，+∞）
当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞），单调减区间是（

1

a

，

1

2

）．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性函数的极值，考查分类讨论以及计算能力．