Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n

an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）把点（1，2）代入函数解析式中求得a，然后可得数列前n项和的表达式，进而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x，得a=2．…2分
所以Sn=f(n)-1=2n-1，
当n=1时，a1=S1=21-1=1；…3分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1
经验证可知n=1时，也适合上式，
∴an=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，

Tn=1× 1 2 +2× 1 22 +…+(n-1)• 1 2n-1 +n• 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +2× 1 23 +…+(n-1)• 1 2n +n• 1 2n+1

，
两式相减可得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n

1

2n+1

=1-(1+

n

2

)•(

1

2

)n，
所以Tn=2-

n+2

2n

．…12分．

点评：熟练掌握当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．