Question

已知下列命题：
①函数y=sin（-2x+

π

3

）的单调增区间是[-kπ-

π

12

，-kπ+

5π

12

]（k∈Z）．
②要得到函数y=cos（x-

π

6

）的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动

π

3

个单位长度．
③已知函数f（x）=2cos²x-2acosx+3，当a≤-2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．
④已知角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则点P（sinA-cosB，cosA-sinC）在第四象限．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①先用诱导公式，再由正弦函数的减区间，即可判断；②运用图象平移和诱导公式，即可判断；③配方转化为二次函数的值域问题，注意运用余弦函数的有界性，即可判断；④根据锐角三角形的定义，再由正弦函数和余弦函数的单调性，即可判断．

解答： 解：①函数y=sin（-2x+

π

3

）=-sin（2x-

π

3

），令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得，
kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，故函数的单调增区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，故①错；
②将函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动

π

3

个单位长度，得到y=sin（x+

π

3

），
即y=sin（x+

π

2

-

π

6

）=cos（x-

π

6

），故②正确；
③函数f（x）=2cos²x-2acosx+3=2（cosx-

a

2

）²+3-

a2

2

，当a≤-2时，即

a

2

≤-1，而cosx∈[-1，1]，
故函数f（x）的最小值为g（a）=2（-1）²-2a•（-1）+3=5+2a，故③正确；
④由角A、B、C是锐角△ABC的三个内角，则A+B＞90°，A+C＞90°，
即有A＞90°-B，A＞90°-C，故sinA＞sin（90°-B）即sinA＞cosB，cosA＜sinC，
故点P在第四象限内，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数的单调性和最值，以及图象的平移和配方，运用二次函数的单调性求最值．