Question

设（5x-

x

）ⁿ的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M-N=240，求展开式中x³项的系数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由条件求得n=4，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，3，求出r的值，即可求得展开式中x³项的系数．

解答： 解：由题意可得N=2ⁿ，令x=1，则M=（5-1）ⁿ=4ⁿ=（2ⁿ）²．
∴（2ⁿ）²-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4．
（5x-

x

）ⁿ=（5x-

x

）⁴的展开式中第r+1项T_r+1=C

r 4

•（5x）^4-r•（-

x

）^r
=（-1）^r•C

r 4

•5^4-r•x4-

r

2

．
令4-

r

2

=3，即r=2，可得展开式中x³项的系数为 C

2 4

•5²•（-1）²=150．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．