Question

已知函数f（x）=x^a•lnx，其中a∈Z．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=-1时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件推导出f'（x）=x^a-1•（alnx+1），x＞0，x^a-1＞0．再由a的取值范围分类讨论，能判断出
函数f（x）的单调性．
（2）当a=-1时，f'（x）=x^-2•（1-lnx）．令f'（x）=0，得x=e．列表讨论能求出函数f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x^a•lnx，
∴f'（x）=x^a-1•（alnx+1），x＞0，x^a-1＞0．
当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞e-

1

a

，
∴f（x）的单增区间为(e-

1

a

，+∞)，
同理，单减区间为(0，e-

1

a

)；
当a=0时，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单增；
当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＜e-

1

a

，
∴f（x）的单增区间为(0，e-

1

a

)，
同理，单减区间为(e-

1

a

，+∞)．（8分）
（2）当a=-1时，f（x）=x^-1•lnx，
f'（x）=x^-2•（1-lnx）．令f'（x）=0，得x=e．
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f’（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

∴f(x)max=f(e)=

1

e

．（12分）

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．