Question

数列{a_n}中，a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1．
（1）求证：

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

（2）设S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，n＞2，证明：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把数列递推式变形，取倒数后整理得答案；
（2）由（1）中的结论把

1

an

列项，得到Sn=2-

1

an+1-1

，由已知条件a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1得到
a_n+1＞a_n＞1，从而证得S_n＜2．

解答： 证明：（1）∵a_n+1=a_n²-a_n+1=a_n（a_n-1）+1，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

．
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（2）由（1）知，

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

an-1

-

1

an+1

)
=

1

a1-1

+

1

an+1-1

=2-

1

an+1-1

．
∵a_n+1=a_n²-a_n+1=(an-1)2≥0，且a1=

3

2

＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1，
∴2-

1

an+1-1

＜2．
即S_n＜2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了利用放缩法证明不等式，是中档题．