Question

已知函数f(x)=

mx

2

+

m-2

2x

 (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，
（1）求m取值范围；
（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn≤

2n3+3n2-5n

12

（n∈N^*）．

Answer 1

（1）由题意，令g(x)=lnx-

mx

2

-

m-2

2x

+m-1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立
  g′(x)=

1

x

-

m

2

+

m-2

2x2

=

-(x-1)(mx+m-2)

2x2

…4分
当-1＜

2

m

-1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．
∵g_max=g（1）≤0
∴原式成立．
当

2

m

-1＞1，即0＜m＜1时，∵g(1)=0，gmax=g(

2

m

-1)＞g(1)=0
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx≤

1

2

(x-

1

x

)，∴xlnx≤

x2-1

2

令x=n，∴nlnn≤

n2-1

2

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

1

2

[22+32+..+n2+1-n]
∵12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤

2n3+3n2-5n

12

，原不等式成立…12分