【题目】设函数,
(
).
(Ⅰ)若直线和函数
的图象相切,求
的值;
(Ⅱ)当时,若存在正实数
,使对任意
,都有
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设切点,求切线方程,根据直线重合求解即可;(Ⅱ)不等式等价于
,即
.设
,研究函数
的单调性,讨论参数
,分别令
即可.
试题解析:(Ⅰ)设切点的坐标为,由
,得
,
∴切线方程为,即
.
由已知和
为同一直线,所以
,
,
令,则
,
当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,
∴,
当且仅当时等号成立,∴
,
.
(Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)结合函数的图象知:
存在,使得对于任意
,都有
,
则不等式等价于
,即
.
设,
,
由,得
;由
,得
.
若,
,∵
,∴
在
上单调递减,
∵,
∴对任意,
,与题设不符.
若,
,
,∴
在
上单调递增,
∵,∴对任意
,
符合题设,
此时取,可得对任意
,都有
.
②当时,由(Ⅰ)结合函数的图象知
(
),
对任意
都成立,
∴等价于
.
设,则
w,
由,得
;
,得
,
∴在
上单调递减,注意到
,
∴对任意,
,不符合题设.
综上所述, 的取值范围为
.
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法④求得
的范围的.
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【题目】如图,半径为的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为
的小圆,现将半径为
的一枚硬币抛到此纸板上,使整块硬币完全随机落在纸板内,则硬币与小圆无公共点的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在△ABC中,已知 tanAtanB﹣tanA﹣tanB=
.
(1)求∠C的大小;
(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2,且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
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【题目】【广东省惠州市2017届高三上学期第二次调研】已知点,点
是圆
上的任意一点,线段
的垂直平分线与直线
交于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线与点
的轨迹有两个不同的交点
和
,且原点
总在以
为直径的圆的内部,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,已知动直线过点
,且与圆
交于
、
两点.
(1)若直线的斜率为
,求
的面积;
(2)若直线的斜率为
,点
是圆
上任意一点,求
的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点
),对于任意不与
轴重合的直线
,都有
平分
,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖。规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得1000元;若未中奖,则所获得奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中奖均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所奖金(元)的分布列;
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?
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【题目】如图,已知椭圆 的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆上,且异于点A,B,直线AP,BP与直线
分别交于点M,N,
(1)设直线AP,BP的斜率分别为 ,求证:
为定值;
(2)求线段MN的长的最小值;
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2, .M,N分别为BC和CC1的中点,P为侧棱BB1上的动点.
(1)求证:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)若P为线段BB1的中点,求证:A1N∥平面APM;
(3)试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,请说明理由.
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【题目】传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为五个等级进行数据统计如下:
根据以上抽样调查数据,视频率为概率.
(1)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为的人数;
(2)若等级分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?
(3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为的学生中,按分层抽样抽取7人,再从中任意抽取3名,求抽到成绩为
的人数
的分布列与数学期望.
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