【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3){a|a>1或a=﹣3}.
【解析】试题分析:(1)由偶函数定义得f(﹣x)=f(x),根据对数运算法则化简可得2k=﹣1,即得实数k的值;(2)解含参数不等式,一般方法为先分解因式,再讨论各因子符号,即得函数g(x)的定义域;(3)先根据对数运算法则化简方程f(x)=g(x),去掉对数,再设2x=t,转化为类二次方程有正解情况,分一次方程,二次方程中分二个相同正根与一个正根一个负根依次讨论,最后求并集得实数a的取值范围.
试题解析:解:(I)f(x)的定义域为R,
∵f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x)恒成立,
即log4(4﹣x+1)﹣kx=log4(4x+1)+kx恒成立,
∴log4=2kx,即log4=2kx,
∴42kx=4﹣x,∴2k=﹣1,即k=﹣.
(II)由g(x)有意义得a2x﹣>0,即a(2x﹣)>0,
当a>0时,2x﹣>0,即2x>,∴x>log2,
当a<0时,2x﹣<0,即2x<,∴x<log2.
综上,当a>0时,g(x)的定义域为(log2,+∞),
当a<0时,g(x)的定义域为(﹣∞,log2).
(III)令f(x)=g(x)得log4(4x+1)﹣x=log4(a2x﹣),
∴log4=log4(a2x﹣),即2x+=a2x﹣,
令2x=t,则(1﹣a)t2+at+1=0,,
∵f(x)与g(x)的图象只有一个交点,
∴f(x)=g(x)只有一解,∴关于t的方程(1﹣a)t2+at+1=0只有一正数解,
(1)若a=1,则+1=0,t=﹣,不符合题意;
(2)若a≠1,且﹣4(1﹣a)=0,即a=或a=﹣3.
当a=时,方程(1﹣a)t2+at+1=0的解为t=﹣2,不符合题意;
当a=﹣3时,方程(1﹣a)t2+at+1=0的解为t=,符合题意;
(3)若方程(1﹣a)t2+at+1=0有一正根,一负根,则<0,∴a>1,
综上,a的取值范围是{a|a>1或a=﹣3}.
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【题目】一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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【题目】(2015·湖南)如下图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E、F分别是BC、CC1的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积.
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【题目】设z1 , z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1﹣z2|=0,则 =
B.若z1= ,则 =z2
C.若|z1|=|z2|,则z1 =z2
D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
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【题目】为了缓解交通压力,某省在两个城市之间特修一条专用铁路,用一列火车作为公共交通车.已知每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数,如果该列火车每次拖4节车厢,每日能来回16趟;如果每次拖6节车厢,则每日能来回10趟,火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的,每节车厢满载时能载客110人.
(1)求出y关于x的函数;
(2)该火车满载时每次拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的营运人数?
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【题目】如图,四边形中, , , , , 、分别在、上, ,现将四边形沿折起,使平面平面.
()若,是否存在折叠后的线段上存在一点,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
()求三棱锥的体积的最大值,并求此时点到平面的距离.
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【题目】下列判断正确的是 (把正确的序号都填上).
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a-1,a+4])是偶函数,则实数b=2;
②若函数在区间上递增,在区间上也递增,则函数必在上递增;
③f(x)表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者,则函数f(x)的最大值为1;
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x、y∈R都满足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x),则f(x)是奇函数.Ks
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