Question

《选修4-5：不等式选讲》
已知函数．f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6，∴①，
或 ②，或 ③．
解①可得-1≤x＜-，解②可得-≤x＜，解③可得 ≤x≤2．
综上可得，不等式的解集为 {x|-1≤x≤2}．
（2）∵关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，∴|a-1|应大于函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值．
而由绝对值的意义可得，f（x）表示数轴上的x对应点到-和对应点的距离之和的2倍，
故函数f（x）的最小值为2×2=4，
故有|a-1|＞4，化简可得 a-1＞4，或a-1＜-4，解得 a＞5，或a＜-3，
故实数a的取值范围为 { a|a＞5，或a＜-3}．
分析：（1）由不等式f（x）≤6 可得 ①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得|a-1|应大于函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，故有|a-1|＞4，由此求得实数a的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．