Question

（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．又数列{a_n}满足，a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-

1

2f(an)

，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用赋值法：令x=y=0时，可求f （0）=0．令x=0，y∈（-1，1），则可得f （-y）=-f （y）可证
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，可得f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)，结合已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），可得

f(an+1)

f(an)

=2，利用等比数列的通项可求
（III）由bn=-

1

2f(an)

=

1

2n

，利用等比数列的求和可求T_n，代入不等式

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

．令t=2ⁿ（4-m），可求得2＜t＜6．即2＜2ⁿ（4-m）＜6，利用反证法
假设存在正整数m，n使得上述不等式成立，结合2ⁿ是偶数，4-m为整数，可得

2n=4 4-m=1

或

2n=2 4-m=2

可求

解答：（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（0）
∴f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（-y），即f （-y）=-f （y）
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，于是f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），
∴

f(an+1)

f(an)

=2，
∴数列{f（a_n）}是以f（a1）=f（

1

2

）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f(an)=-1•2n-1=-2n-1…（8分）
（III）bn=-

1

2f(an)

=

1

2n

，
∴Tn=b₁+b₂+…+b_n=

1 2 (′1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．…（10分）
于是不等式

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

即

4(1- 1 2n )-m

4(1-  1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

．
令t=2ⁿ（4-m），于是变形为

t-4

t-2

＜

1

2

，等价于2＜t＜6．
即2＜2ⁿ（4-m）＜6．
假设存在正整数m，n使得上述不等式成立，
∵2ⁿ是偶数，4-m为整数，
∴2ⁿ（4-m）=4．
于是 

2n=4 4-m=1

或

2n=2 4-m=2

  
解得

m=3 n=2

或

m=2 n=1

因此存在正整数m=2，n=1或m=3，n=2使原不等式成立．…（12分）

点评：本题综合考查了抽象函数奇偶性的判断，注意赋值法的应用，构造等比数列求和的应用及不等式解法的应用，解答本题还要求考生具备一定的综合应用的能力