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    已知函数

       （I）若的一个极值点，求a的值；

       （II）求证：当上是增函数；

       （III）若对任意的总存在成立，求实数m的取值范围。

     

    【答案】

    （Ⅰ）.

    （Ⅱ）略

    （Ⅲ）实数的取值范围为. 

     

    【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

    （1）先求解定义域和导函数，利用在该点的导数值为零，得到参数的值。

    （2）对于参数a讨论，研究导函数的符号，来确定函数单调性。

    （3）在第二问的基础上，将所求的问题转换为恒成立问题来处理得到。

     

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    （II）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数

    的最小值是3若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

    （改编）（Ⅲ）当时，证明：．

     

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