Question

已知抛物线y²=2px的焦点F（2，0）．
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线的弦AB，M（5，2）为中点，求直线AB的方程及|AB|的长．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线y²=2px的焦点F（2，0），求出p，即可求抛物线方程；
（2）利用点差法求斜率，点斜式求得AB所在直线l的方程，再求出|AB|的长．

解答： 解：（1）由题意，

p

2

=2，∴2p=8，
∴抛物线方程为y²=8x；
（2）由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），M（5，2）为中点，可得k=2，
故AB所在直线l的方程为：y-2=2（x-5），即2x-y-8=0． 
2x-y-8=0与y²=8x联立，可得y²-4y-32=0，∴y=-4或8，
∴|AB|=

1+ 1 4

•|8+4|=6

5

．

点评：本题考查直线、抛物线方程的求法，求出直线的斜率，是解题的关键．