Question

已知函数y=f(x)的定义域是R，且对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b).并且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)=-1.

(1)证明函数y=f(x)是R上的减函数；

(2)证明函数y=f(x)是奇函数；

(3)求函数y=f(x)在［m,n］(m,n∈Z,m＜n)的值域.

Answer 1

思路分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(-x)=f(x)；(3)利用单调法求函数的值域.

解：(1)设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂，由题意得

f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］=f(x₁)+f(x₂-x₁).

∴f(x₁)-f(x₂)=-f(x₂-x₁).

∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0.

又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立，

∴f(x₂-x₁)＜0.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0.

∴函数y=f(x)是R上的减函数.

(2)令a=x,b=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(x)+f(-x)=f(0).

令a=b=0，得f(0)=f(0)+f(0)，

∴f(0)=0.

∴f(x)+f(-x)=0.

∴函数y=f(x)是奇函数.

(3)由(1)得函数y=f(x)在［m,n］上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m).

∵对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，

∴f(m)=f［(m-1)+1］=f(m-1)+f(1)=f(m-2)+2f(1)=…=mf(1)=-m，

同理,有f(n)=-n.

∴函数y=f(x)在［m,n］(m,n∈Z,m＜n)上的值域是［-n,-m］.