Question

19．已知函数f（x）=|x|+|2x-3|，g（x）=3x²-2（m+1）x+$\frac{15}{4}$；
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若对任意的x∈[-1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式组的解集，取并集即可；（2）通过讨论x的范围，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ x+（2x-3）≤6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤\frac{3}{2}\\ x-（2x-3）≤6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-x-（2x-3）≤6\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}＜x≤3$或$0≤x≤\frac{3}{2}$或-1≤x＜0．
即不等式的解集为{x|-1≤x≤3}．
（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，$3{x^3}-2（m+1）x+\frac{15}{4}≥x+3-2x$，
即$3x+\frac{3}{4x}≥2m+1$在0≤x≤1时恒成立．
因为0≤x≤1，所以当且仅当$x=\frac{1}{2}$时，$3x+\frac{3}{4x}$取到最小值3，
故3≥2m+1，即m≤1．
②当-1≤x＜0时，$3{x^2}-2（m+1）x+\frac{15}{4}≥-x+3-2x$
即$3|x|+\frac{3}{4|x|}≥-2m+1$在-1≤x＜0时恒成立；
因为-1≤x＜0，所以当且仅当$x=-\frac{1}{2}$时$3x+\frac{3}{4x}$取到最小值3，
故3≥-2m+1，即m≥-1，
综上可知，m的取值范围为[-1，1]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．