Question

【题目】已知数列{an}的通项为an ， 前n项和为sn ， 且an是sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式an ， bn
（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Bn ， 试比较 与2的大小．
（Ⅲ）设Tn= ，若对一切正整数n，Tn＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得2an=sn+2， 当n=1时，a1=2，
当n≥2时，有2an﹣1=sn﹣1+2，两式相减，整理得an=2an﹣1即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n ．
点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上得出bn﹣bn+1+2=0，即bn+1﹣bn=2，
即数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此bn=2n﹣1．
（Ⅱ）Bn=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2
∴
= ．
（Ⅲ）Tn= ①
②
① ﹣②得
∴
又
∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3
【解析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{an}的通项公式，根据{bn}的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解Tn是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．