Question

(本小题满分12分)

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n－n²，求数列{|a_n|}的前n项和T_n.

剖析：由S_n=12n－n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数（n∈N^*），可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T_n.

 

Answer 1

【答案】

 

解：当n=1时，a₁=S₁=12－1²=11；

当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=12n－n²－［12（n－1）－（n－1）²］=13－2n.

∵n=1时适合上式，

∴{a_n}的通项公式为a_n=13－2n.

由a_n=13－2n≥0，得n≤，

即当 1≤n≤6（n∈N^*）时，a_n＞0；当n≥7时，a_n＜0.

（1）当 1≤n≤6（n∈N^*）时，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=12n－n².

（2）当n≥7（n∈N^*）时，

T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）－（a₇+a₈+…+a_n）=－（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+…+a₆）

=－S_n+2S₆=n²－12n+72.∴T_n= 

 

【解析】略