Question

求证:过两异面直线中的一条直线有且仅有一个平面与另一条直线平行.

Answer 1

思路分析:证明“有且仅有”的问题,应当说明两方面的问题,即存在性和唯一性,证明存在性时,只要找到一个即可,证明唯一性则通常利用反证法,即假设还有另一个平面也过一条直线而与另一条直线平行,根据线面平行的性质定理,有这两个平面的交线与另一条平行,产生与已知相矛盾的结论,从而肯定原命题的正确性.

已知:a、b为异面直线

求证:过a有且只有一个平面a与b平行.

证明:(1)存在性:在a上取一点A,过A作c∥b,

因为a∩c=A,所以a、c可确定平面α,

因为bα,且b∥c,所以b∥α,

所以存在α过a且与b平行.

(2)唯一性:假设另有一个平面β,也过a且与b平行,过b作γ∩β=d,

因为b∥β,所以b∥d.

同理过b作θ∩α=e,

因为b∥α,所以b∥e.

所以e∥d,所以e∥β.

所以e∥a,于是b∥a,这与a,b异面矛盾.

所以过a与b平行的面只有一个.