Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，从{a_n}中可重复地任取两项求和，不相等的和按从小到大的顺序排成一数列{b_n}.

(1)若a_n=2n-1，求{b_n}的通项；

(2)若a_n=n(n∈N^*)，记c_n=(b_n)₅，其中(b_n)₅表示最接近b_n的5的倍数，如：2₅=0，3₅=5，11₅=10，15₅=15，试求数列{c_n}的前2 008项之和.

Answer 1

解：(1)a_n=a₁+(n-1)d,∴a_i+a_j=2a₁+(i+j-2)d,依题意得{b_n}为2a₁,2a₁+d,2a₁+2d,…,2a₁+(n-1)d,∴b_n= 2a₁+(n-1)d.                                                                   4分

①若a_n=2n-1,则a₁=1,d=2,∴b_n=2+(n-1)·2=2n.                                      

②若a_n=n,则a₁=1,d=1,∴b_n=2+(n-1)·1=n+1.

(2)依题意知：(5k-2)₅=5k,(5k-1)₅=5k,(5k)₅=5k,(5k+1)₅=5k,(5k+2)₅=5k(k∈N^*),

∴(5k-2)₅+(5k-1)₅+(5k)₅+(5k+1)₅+(5k+2)₅=5×5k

=(5k-2)+(5k-1)+5k+(5k+1)+(5k+2),

∴c₁+c₂+…+c_{2 008}=2₅+3₅+…+2 009₅=2₅+(3₅+4₅+5₅+6₅+7₅)+(8₅+9₅+10₅+11₅+12₅)+…+(2 003₅+2 004₅+2 005₅+2 006₅+2 007₅)+(2 008₅+2 009₅)

=0+(3+4+5+6+7)+(8+9+10+11+12)+…+(2 003+2 004+2 005+2 006+2 007)+2 010+2 010

=+2×2 010=2 019 045.