Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1的图象为D.

(1)当a=b=3时,过D上的点P(t,f(t))(-1＜t＜0)作D的切线与x轴、y轴分别交于A、B,求△ABO面积的最大值(O为坐标原点);

(2)当a=0时,D与x轴有三个不同的交点,试求b的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=(x+1)³,∴f′(x)=3(x+1)².故过P的切线方程为y-(t+1)³=3(t+1)²(x-t).

它在两坐标轴上的截距分别为y₀=(1+t)³-3t(1+t)²=(1+t)²(1-2t)，

x₀=t.故S_△ABO=|(1+t)²·(1-2t)·|

=［（2+2t)(1-2t)］²≤.()⁴=.当t=时取等号.

故S_△ABO的最大值为.

(2)a=0时,f(x)=x³+bx+1,f′(x)=3x²+b,

b≥0时,f′(x)≥0,y=f(x)为增函数,D与x轴只有一个交点,结论不成立.

b＜0时,令f′(x)=0.求得x=时,f(x)极大值=f()=+1.

x=时,f(x)极小值=f()=+1.

图象D与x轴有三个不同的交点b³+1＜0b＜.

因此b的取值范围是(-∞,).