Question

【题目】已知过点M（ ，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且 =﹣3，其中O为坐标原点．
（1）求p的值；
（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+ ，

代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，

y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，

由于 =﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，

x1x2= = ，

即有 ﹣p2=﹣3，解得，p=2

（2）解：由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，

则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5 +5=9，

当且仅当x1=4x2时取得最小值9．

由于x1x2=1，则解得，x2= （负的舍去），

代入抛物线方程y2=4x，解得，y2= ，即有B（ ），

将B的坐标代入直线x=my+1，得m= ．

则直线l：x= y+1，即有4x+ y﹣4=0或4x﹣ y﹣4=0

【解析】（1）设A（x1 ， y1），Bx2 ， y2），直线l：x=my+ ，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程．