Question

【题目】设函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

（Ⅰ）若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

（Ⅱ）若f(1)＝ ，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）{x|x>1，或x<－4}．（2）最小值－2.

【解析】试题分析：（1）（2）

试题解析：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1，经检验k＝1合题意.

(Ⅰ)∵f(1)>0，∴a－>0，又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝ax－a－x，∴f(x)在R上为增函数．

原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，∴x>1或x<－4，

∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．

(Ⅱ)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－ (舍去)，

∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.

令t＝2x－2－x(x≥1)，则t是[1，＋∞)上的增函数，即t≥，

∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．

即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.