Question

已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，若an=f(n)(n∈N*)，则a₂₀₁₂=

0

．

Answer 1

分析：根据定义在R上的奇函数又关于某直线x=a≠0对称，则它又是周期函数，可求得函数f（x）的周期是8，进而得到答案．

解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），以2+x代替上式中的x得f（4+x）=f（-x），
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴f（4+x）=f（-x）=-f（x），
再以4+x代替上式中的x得f（8+x）=-f（4+x）=f（x），由此可知：函数f（x）是以8为周期的函数，
∴a₂₀₁₂=f（2012）=f（251×8+4）=f（4），而f（4）=-f（0）=0，
∴a₂₀₁₂=0．
故答案是0．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，深刻理解函数的以上性质是解决问题的关键．同时知道结论：定义在R上的奇函数又关于某直线x=a≠0对称，则它又是周期函数．