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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    3
    ，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
    分析：（1）根据椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    3
    ，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，建立方程组，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
    （2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），确定k1•k2=-
    8
    9
    ，进一步确定以GH为直径的圆的方程，令y=0，可得定点的坐标．
    解答：解：（1）由题意得
    c
    a
    =
    1
    3
    a-c=2
    ，∴
    c=1
    a=3
    ，∴b2=a2-c2=8．
    ∴椭圆C的方程为：
    x2
    9
    +
    y2
    8
    =1    ．…（4分）
    （2）记直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，设M，A，B的坐标分别为M（x0，y0），A（-3，0），B（3，0），
    ∴k1=
    y0
    x0+3
    ，k2=
    y0
    x0-3
    ，∴k1k2=
    y02
    x
    2
    0
    -9
    ．
    ∵P在椭圆上，∴
    x02
    9
    +
    y02
    8
    =1    ，∴
    y
    2
    0
    =8(1-
    x
    2
    0
    9
    )    ，∴k1•k2=-
    8
    9
    ，
    设G（9，y1）H（9，y2），则k1=kAM=
    y1
    12
    ，k2=kMB=
    y2
    6
    ．
    ∴k1k2=
    y1y2
    72
    ，又k1•k2=-
    8
    9
    ．∴
    y1y2
    72
    =-
    8
    9
    ，∴y1y2=-64．…（8分）
    因为GH的中点为Q(9，
    y1+y2
    2
    )    ，|GH|=|y1-y2|，
    所以，以GH为直径的圆的方程为：(x-9)2+(y-
    y1+y2
    2
    )2=
    (y1-y2)2
    4
    ．
    令y=0，得（x-9）2=-y1y2=64，
    ∴x=1，x=17，将两点（17，0），（1，0）代入检验恒成立．
    所以，以GH为直径的圆恒过x轴上的定点（17，0），（1，0）．…（12分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查圆的方程的确定，综合性强，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

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