Question

16．已知函数f（x）=-x³+3x²+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[1，3]上的最大值为10，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=-3x²+6x，由此利用导数的正负，能求出f（x）的单调区间．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，所以在区间[1，3]上f（x）的最大值是f（2），求出a，即可求它在该区间上的最小值．

解答 解：（1）由已知，f'（x）=-3x²+6x，…（2分）
解f'（x）=-3x²+6x＞0，得0＜x＜2，
解f'（x）=-3x²+6x＜0，得x＞2或x＜0，…（5分）
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，2），
函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．…（7分）
（2）由（1）知函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
所以在区间[1，3]上f（x）的最大值是f（2），…（9分）
所以f（2）=10，解得a=6．…（11分）
故f（x）=-x³+3x²+6，
计算f（1）=8，f（3）=6，
所以f（x）在区间[1，3]上的最小值为6．…（13分）

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．