Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的单调性,不需要说明理由．

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．

（3）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增函数； （2）奇函数，理由见解析； （3）.

【解析】

（1）将函数化为，即可直接得出结果；

（2）先由解析式，得到函数定义域， 再由，即可判断出结果；

（3）先由函数奇偶性与单调性，将原不等式化为，在恒成立，令，，分别讨论，，三种情况，结合二次函数的单调性，即可得出结果.

（1）为上的增函数；

（2）根据题意，函数，其定义域为，

有，

则函数为奇函数；

（3）由（2）的结论，为上的奇函数，

则可化为：，

即，

又由在上是单调递增的函数，则有，在恒成立；

即，在恒成立，

设，，则等价于即可．

即，

当时，函数在上单调递增，其最小值为，得，不成立；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，其最小值为，解得，所以；

当时，函数在上单调递减，其最小值为，可得，所以

综上可得：的取值范围为：．