Question

7．若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，则数列{a_n}的通项公式a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2ⁿa_n变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，进而利用累乘法计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}={2}^{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}={2}^{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={2}^{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2^{1+2+3+…+（n-1）}=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$（n≥2），
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
故答案为：a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．