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如图,在四棱锥中,⊥底面,四边形是直角梯形,.

(Ⅰ)求证:平面⊥平面
(Ⅱ)若二面角的余弦值为,求.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)利用线面垂直得到线线垂直,利用线线垂直得到线面垂直,然后得到面面垂直;(Ⅱ)通过建立空间直角坐标系,得到相应点的坐标,计算平面的法向量,通过二面角的大小计算得到的值.

试题解析:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BCÌ平面ABCD,
∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,
∵BCÌ平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAB.5分
(Ⅱ)以A为原点,AB为x轴、AP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.
则B(2,0,0),C(2,1,0),D(1,1,0).
设P(0,0,a)(a>0),
=(0,1,0),=(2,1,-a),
=(1,0,0)             8分
设n1=(x1,y1,z1)为面BPC的一个法向量,
则n1·=n1·=0,

取x1=a,y1=0,z1=2,得n1=(a,0,2).
同理,n2=(0,a,1)为面DPC的一个法向量.               10分
依题意,|cosán1,n2ñ|=
解得a2=2,或a2=-7(舍去),所以.            12分  
考点:平面与平面垂直的判定,向量法求直线的值.

练习册系列答案
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在三棱拄中,侧面,已知.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)试在棱(不包含端点)上确定一点的位置,使得
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

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如图,四棱锥的底面为平行四边形,平面中点.

(1)求证:平面
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(Ⅰ)求证:平面平面
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(III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由.

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如图, 平面平面, 是以为斜边的等腰直角三角形, 分别为, , 的中点, ,

(1) 设的中点, 证明:平面
(2) 证明:在内存在一点, 使平面, 并求点, 的距离.

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