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已知椭圆
x2
2
+
y2
4
=1
两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足
PF1
PF2
=1
,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.
(1)求P点坐标;
(2)求证:直线AB的斜率为定值;
(3)求△PAB面积的最大值.
(1)由题可得F1(0,
2
)
F2(0-
2
)

设P0(x0,y0)(x0>0,y0>0)
PF1
=(-x0
2
-y0)
PF2
=(-x0,-
2
-y0)
(2分)
PF1
PF2
=
x20
-(2-
y20
)=1

∵点P(x0,y0)在曲线上,则
x20
2
+
y20
4
=1

x20
=
4-
y20
2
,从而
4-
y20
2
-(2-
y20
)=1
,得y0=
2

则点P的坐标为(1,
2
)
.(5分)
(2)证明:由题意知,两直线PA、PB的斜率必存在,设PB的斜率为k(k>0),(6分)
则BP的直线方程为:y-
2
=k(x-1)

y-
2
=k(x-1)
x2
2
+
y2
4
=1
(2+k2)x2+2k(
2
-k)x
+(
2
-k)2-4=0

设B(xB,yB),则1+xB=
2k(k-
2
)
2+k2
xB=
2k(k-
2
)
2+k2
-1=
k2-2
2
k-2
2+k2

同理可得xA=
k2+2
2
k-2
2+k2
,则xA-xB=
4
2
k
2+k2
yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=
8k
2+k2
.(9分)
所以AB的斜率kAB=
yA-yB
xA-xB
=
2
为定值.(10分)
(3)设AB的直线方程:y=
2
x+m

y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
,得4x2+2
2
mx+m2-4=0

△=(2
2
m)2-16(m2-4)>0
,得-2
2
<m<2
2

P到AB的距离为d=
|m|
3
,(12分)
S△PAB=
1
2
|AB|•d=
1
2
(4-
1
2
m2)•3
|m|
3
=
1
8
m2(-m2+8)
1
8
(
m2-m2+8
2
)
2
=
2

当且仅当m=±2∈(-2
2
,2
2
)
取等号
∴△PAB面积的最大值为
2
.(14分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求|PA|+|PB|的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

直线l过x轴上的点M,l交椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
于A,B两点,O是坐标原点.
(1)若M的坐标为(2,0),当OA⊥OB时,求直线l的方程;
(2)若M的坐标为(1,0),设直线l的斜率为k(k≠0),是否存直线l,使得l垂直平分椭圆的一条弦?如果存在,求k的取值范围;如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若直线y=kx+2与曲线y=
x2-1
,|x|>1
1-x2
,|x|≤1
恰有两个不同的交点,则k∈______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1
x2
4
+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,
OB
=2
OA
,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1、A2,直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证
OQ
OR
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

将曲线C1:(x-4)2+y2=4所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
1
2
得到曲线C2,将曲线C2向左(x轴负方向)平移4个单位,得到曲线C3
(Ⅰ)求曲线C3的方程;
(Ⅱ)垂直于x轴的直线l与曲线C3相交于C、D两点(C、D可以重合),已知A(-2,0),B(2,0),直线AC、BD相交于点P,求P点的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线C1x2-
y2
4
=1

(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当
OA
OB
=3
时,求实数m的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.

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