Question

若直线y=kx+2与曲线y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

恰有两个不同的交点，则k∈______．

Answer 1

曲线y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

对应的函数图象如图所示．
当直线y=kx+2与半圆相切时，k=±

3

满足题意；
当直线y=kx+2过（±1，0）时，k=±2满足题意；
|x|＞1时，y=

x2-1

为双曲线在x轴上方的部分，其渐近线为y=±x．
故当直线y=kx+2与渐近线平行时，k=±1，
∴-1＜k＜1时，直线与双曲线有两个不同的交点，
∴k∈{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．
故答案为：{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．