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某圆锥曲线有下列信息:
①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴;
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1;
③曲线与坐标轴的交点不是两个;
④曲线过点A(1,
3
2
).
(1)判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程;
(2)点F是改圆锥曲线的焦点,点F′是F关于坐标原点O的对称点,点P为曲线上的动点,探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围.
(1)∵该曲线与坐标轴至少有3个交点,
∴该曲线为焦点在x轴上的椭圆,
且2c=2,c=1,(2分)
F1、F2分别是该圆锥曲线的左、右焦点,
|AF1|+|AF2|=
22+
9
4
+
02+
9
4
=4

所以2a=4,a=2,b2=4-1=3,(5分)
∴所求圆锥曲线的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1
.(6分)
(2)设P(x0,y0),
则满足
x02
4
+
y02
3
=1

y02=3-
3x02
4
,(-2≤x0≤2),
|PF|2=(x0-1)2+3-
3x02
4
=
x02
4
-2x0+4
,(7分)
由-2≤x0≤2,
得到|PF|2=(x0-1)2+3-
3x02
4

=
x02
4
-2x0+4
∈[1,9],
|PF|∈[1,3],9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•(4-|PF|)=4|PF|-|PF′|2
由|PF|∈[1,3],
知|PF|•|PF′|∈[3,4],
∴|PF|的取值范围是[1,3],|PF|•|PF′|的取值范围是[3,4].(13分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右两焦点分别为F1,F2,p是椭圆上一点,且在x轴上方,PF2⊥F1F2,PF2=λPF1,λ∈[
1
3
1
2
].
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)当e取最大值时,过F1,F2,P的圆Q的截y轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线,切点分别为M,N.试探究直线MN是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的两条渐近线为
l1,l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图).
(1)当l1与l2的夹角为60°,且△POF的面积为
3
2
时,求椭圆C的方程;
(2)当
FA
AP
时,求当λ取到最大值时椭圆的离心率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=
5
5
,过F1的直线交椭圆于M、N两点,且△MNF2的周长为4
5

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆E中心的任意弦,P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点,求△APB面积的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,
2
)
,且长轴长与短轴长的比为
2
:1

(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线l:y=x+2,与抛物线x2=y交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,l与x轴交于点C(xC,0).
(1)求证:
1
xA
+
1
xB
=
1
xC

(2)求直线l与抛物线所围平面图形的面积;
(3)某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时(如图1所示),尝试拖动改变直线l与抛物线的方程,发现
1
xA
+
1
xB
1
xC
的结果依然相等(如图2、图3所示),你能由此发现出关于抛物线的一般结论,并进行证明吗?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求|PA|+|PB|的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若直线y=kx+2与曲线y=
x2-1
,|x|>1
1-x2
,|x|≤1
恰有两个不同的交点,则k∈______.

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