Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}bsinA=acosB$．
（1）求B；
（2）若$b=3，sinC=\sqrt{3}sinA$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．
（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}bsinA=acosB$及正弦定理，得$\sqrt{3}bsinBsinA=sinAcosB$．
在△ABC中，sinA≠0，∴$\sqrt{3}sinB=cosB$，∴$tanB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{6}$．
（2）由$sinC=\sqrt{3}sinA$及正弦定理，得$c=\sqrt{3}a$，①
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得，${3^2}={a^2}+{c^2}-2accos\frac{π}{6}$
即${a^2}+{c^2}-\sqrt{3}ac=9$，②
由①②，解得$a=3，c=3\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．