Question

（2012•江苏）在△ABC中，已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC=

5

5

，求A的值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；
（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

，
∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；
（2）∵cosC=

5

5

，0＜C＜π，
sinC=

1-cosC2

=

2 5

5

，
∴tanC=2，
则tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，
将tanB=3tanA代入得：

tanA+3tanA

1-3tan2A

=-2，
整理得：3tan²A-2tanA-1=0，即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
解得：tanA=1或tanA=-

1

3

，
又coaA＞0，∴tanA=1，
又A为三角形的内角，
则A=

π

4

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．