Question

已知α、β∈（0，π），tanα=-

1

3

，tan（α+β）=1．
（I）求tanβ及cosβ的值；
（II）求

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

的值．

Answer 1

分析：（I）先进行角的变换，由β=α+β-α，得tanβ=tan(α+β-α)=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

代入已知，可求出tanβ，再由同角三角函数的关系求出cosβ
（II）先求出sin(

π

2

-β)，再对

2?

cos(2β-

π

4

)用差角公式展开求出它的值，然后就可求出

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

的值

解答：解：（I）tanβ=tan(α+β-α)=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)•tanα

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2（3分）
∵β∈（0，π），tanβ＞0，∴β∈(0，

π

2

)，∴cosβ=

5

5

；（6分）
（II）sinβ=

1-cos2β

=

2 5

5

∴

1+ 2 cos(2β- π 4 )

sin( π 2 -β)

=

1+cos2β+sin2β

cosβ

=

2cos2β+2sinβcosβ

cosβ

=2cosβ+2sinβ=

6 5

5

．（12分）

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，解题的关键是熟练掌握三角函数中的相关公式及符号判断的规则，正确利用这些性质求出函数值，本题在求值过程中用到了角的变换，这是所求的三角函数值的角与已知三角函数值的角之间关系式学采用的技巧，其规律是用已知表示未知．