Question

若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|，则称x比y接近m。
 （I）若x²-1比3接近0，求x的取值范围；
 （Ⅱ）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab；
 （Ⅲ）已知函数f（x）的定义域D={x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}。任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得|x²-1|<3，即-3<x²-1<3
解得-2<x<2
∴x的取值范围是（-2，2）；
（Ⅱ）证明：当a、b是不相等的正数时，a³+b³-（a²b+ab²）=（a-b）²（a+b）>0
又
则
于是
接近；
（Ⅲ）由|1-sinx|< |1+sinx|得1-sinx<1+sinx，即sinx>0，则2kπ<x<2kπ+π（k∈Z）
同理，若|1+sinx|< |1-sinx|，则2kπ+π<x<2kπ +2π（k∈Z）
于是，函数f（x）的解析式是

函数f（x）的大致图象如下：

函数f（x）的最小正周期T=π
函数f（x）是偶函数
当时，函数f（x）取得最小值0
函数f（x）在上单调递减；
在上单调递增。