Question

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程；
（2）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、

F

′ 1

、

F

′ 2

，求以

F

′ 1

、

F

′ 2

为焦点且过点P′的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的定义，求出a，再根据b=

c2-a2

，求出b，从而可得双曲线的方程；
（2）利用椭圆的定义，求出a′，再根据b′=

a2-c2

，求出b′，从而可得椭圆的标准方程．

解答：解：（1）由题意，PF₁-PF₂=

(5+6)2+22

-

(5-6)2+22

=4

5

=2a，
∴a=2

5

，
∵c=6，∴b=

c2-a2

=4，
∴以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程为

x2

20

-

y2

16

=1；
（2）由题意，P′（2，5）、

F

′ 1

（0，-6）、

F

′ 2

（0，6），
∴P′

F

′ 1

+P′

F

′ 2

=

22+(5+6)2

+

22+(5-6)2

=6

5

=2a′，∴a′=3

5

，
∵c′=6，∴b′=

a2-c2

=3，
∴以

F

′ 1

、

F

′ 2

为焦点且过点P′的椭圆的标准方程

y2

45

+

x2

9

=1．

点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查双曲线、椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确理解双曲线、椭圆的定义是关键．