Question

12．已知空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：三条直线EF，GH，AC交于一点；
（3）若AC⊥BD，求异面直线AC与EH所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理，得EH∥BD，根据平行线分线段成比例定理的引理，得FG∥BD，则由平行公理得EH∥FG，从而得E、F、G、H四点共面；
（2）直线EF，GH是梯形的两腰，它们的延长线必相交于一点P，而由于AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理3知能证明三线共点．
（3）由EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD能求出异面直线AC与EH所成角的大小．

解答 （1）证明：在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
又∵$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，∴FG∥BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）证明：由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点．
（3）解：∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∵AC⊥BD，∴EH⊥BD，
∴异面直线AC与EH所成角的大小为90°．

点评 本题考查四点共面的证明，考查三条直线交于一点的证明，考查两异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养