Question

20．已知点P（4，3），令点P与原点的距离保持不变，并绕原点旋转60°、120°、-60°到P₁、P₂、P₃的位置，求点P₁、P₂、P₃的坐标．

Answer 1

分析 求出|OP|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，设∠xOP=θ，则sin$θ=\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，再求θ+60°，θ+120°，θ-60°的正弦和余弦，再由坐标公式x=rcosθ，y=rsinθ，即可得到所求点的坐标．

解答 解：|OP|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，设∠xOP=θ，则sin$θ=\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，
则cos（θ+60°）=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$，
sin（θ+60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$，
设P₁（x，y）；
则x=5cos（θ+60°）=5×$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{2}$，y=5sin（θ+60°）=5×$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$，
则有P₁（$\frac{4-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$）；
cos（θ+120°）=-$\frac{1}{2}cosθ$-$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$=-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，sin（θ+120°）=-$\frac{1}{2}$sinθ$+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
则有P₂（-$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$）；
cos（θ-60°）=$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
sin（θ-60°）=$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$，
设P₃（x，y）；
则x=5cos（θ-60°）=5×$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$，y=5sin（θ-60°）=5×$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{2}$，
则有P₃（$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$）

点评 本题考查任意角的三角函数的定义和两角和差的正弦和余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．