Question

【题目】已知函数.

（1）若，求在时的最值；

（2）若，时，都有，求实数的范围.

Answer 1

【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式，求出函数的导数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在时的最小值和最大值；

（2）由可知函数在上单调递增，函数在上是减函数，设，由可得出，构造函数，可得出在区间上为减函数，转化为在区间上恒成立，利用参变量分离法可求出实数的取值范围.

（1）当时，，则.

当时，令，得.

当时，，此时，函数单调递减；

当时，，此时，函数单调递增.

所以，函数在区间上的最小值为，

又，，

则函数在区间上的最大值为；

（2）若，在区间上是增函数，函数是减函数.

不妨设，由已知：，

，

记，，

则在区间是减函数，在上恒成立.

，记，在上恒成立，

函数在区间上单调递减，则，，又，

因此，实数取值范围是.