Question

6．△ABC中有一个角为60°，此夹角的两边之比为8：5，内切圆的面积为12π，则△ABC的面积为40$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意设出c，b，进而根据余弦定理表示出a，根据三角形面积公式和内切圆圆心将三角形分成三个三角形的面积相等建立等式可求出k与a的值，最后利用正弦定理求出直径，从而求出所求

解答 解：设A=60°，c：b=8：5，则c=8k，则b=5k
由余弦定理可得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccos60°}$=7k，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×5k×8k×sin60°=10$\sqrt{3}$k²，
由题意可知△ABC的内切圆半径为2$\sqrt{3}$，
∴10 $\sqrt{3}$k²=$\frac{1}{2}$×（8k+7k+5k）×2 $\sqrt{3}$
∴k=2，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×10×16×\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$；
故答案为：40$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形中的几何计算，以及余弦定理的应用和三角形的面积公式，属于中档题．