Question

如图，在棱锥P－ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ADC＝，M为PB的中点．

(Ⅰ)求证：PA⊥CD；

(Ⅱ)求二面角P－AB－D的度数；

(Ⅲ)求证：平面CDM⊥平面PAB；

(Ⅳ)求三棱锥B—CDM的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：依条件得 　　 　　∴△ADC为等边三角形，又△PDC也为等边三角形． 　　设CD中点为H，连PH，AH， 　　∵PH⊥CD，AH⊥CD， 　　∴CD⊥面PHA，又面PHA，∴PA⊥CD， (Ⅱ)解：∵AB∥CD，由(Ⅰ)可知PA⊥AB，AH⊥AB， 　　∴∠PAH是二面角P－AB－D的平面角， 　　∵∠PHA＝，PH＝AH，∴∠PAH＝， 　　即二面角P－AB－D的度数为， (Ⅲ)证明：设平面CDM与PA交于点N，连MN，HN， 　　∵AB∥CD，∴AB∥面CDNM，∴AB∥NM， 　　∵AB⊥PA∴MN⊥PA，① 　　又∵M是PB的中点，∴N是PA的中点， 　　又在△PHA中，∠PHA＝，PH＝AH，∴HN⊥PA，② 　　由①，②得：PA⊥面CDM，又面PAB， 　　∴面CDM⊥面PAB， (Ⅳ)解：(文科)∵， 　　又点M到面BCD的距离等于PH， 　　∴ 　　(理科)∵ M为PB的中点，∴， 　　∴， 　　∵