【题目】如图,在直三棱柱中,平面
侧面
,且
,
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角的大小为
,求锐二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先取的中点
,连接
,根据线面垂直的判定定理,证明
侧面
,进而可得出
;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果,得到且
底面
,以点
为原点,以
所在直线分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系
,设
,表示出
,再求出平面
的一个法向量,根据直线
与平面
所成角的大小为
,求出
,再求出平面
的一个法向量,由向量夹角公式,即可求出结果.
(Ⅰ)如图,取的中点
,连接
.
因为,所以
.
由平面侧面
,且平面
侧面
,
得平面
.
又平面
,所以
,
因为三棱柱是直三棱柱,则
底面
,所以
又,从而
侧面
,
又侧面
,故
.
(Ⅱ)由(1)知且
底面
,所以以点
为原点,以
所在直线分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量
,由
,
,得
.
令,得
,则
.
设直线与平面
所成的角为
,则
,
所以,
解得, 即
.
又设平面的一个法向量为
,同理可得
.
设锐二面角的大小为
,则
,
由,得
.
∴锐二面角的大小为
.
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【题目】某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定1人,对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是( )
A.48B.72C.84D.168
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的两组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程;并预报当温差为
时,种子发芽数.
附:回归直线方程:,其中
;
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【题目】已知定点,动点
在
轴上运动,过点
作直线
交
轴于点
,延长
至点
,使
.
点
的轨迹是曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若,
是曲线
上的两个动点,满足
,证明:直线
过定点;
(3)若直线与曲线
交于
,
两点,且
,
,求直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
.过原点
的直线
与椭圆
有两个不同的交点
.
(1)求椭圆长半轴长;
(2)求最大值;
(3)若直线分别与
轴交于点
,求证:
的面积与
的面积的乘积为定值.
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【题目】为降低空气污染,提高环境质量,政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器,为保证净化器的质量,分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估,评估综合得分都在区间
.已知评估综合得分与产品等级如下表:
根据评估综合得分,统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图(图表如下).
甲型 乙型
(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件,估计这件产品为二级品的概率;
(Ⅱ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件,设随机变量为其中二级品的个数,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据图表数据,请自定标准,对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.
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