【题目】已知定点,动点
在
轴上运动,过点
作直线
交
轴于点
,延长
至点
,使
.
点
的轨迹是曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若,
是曲线
上的两个动点,满足
,证明:直线
过定点;
(3)若直线与曲线
交于
,
两点,且
,
,求直线
的斜率
的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 直线
过定点
;(3)
【解析】
(1)设出动点,则
的坐标可表示出,利用
,可求得
的关系式,即
的轨迹方程.
(2)设直线
,联立直线与(1)中所得抛物线的方程,利用韦达定理表示
,进而求得
即可.
(3)设出直线的方程,A,B的坐标,根据
推断出
,把直线与抛物线方程联立消去
求得
的表达式,进而求得
,利用弦长公式表示出
,再根据
的范围,求得
的范围.
(1)设动点,则
,
,
∵,即
,化简得
.
(2)设直线
,联立
.
设,则
,
.
又,故由题有
,即
.
由题意可知,故
.故直线
,恒过定点
.
(3)设直线方程为
,
与抛物线交于点
,
则由,得
,即
,
∴,解得
,
由,
∴,
当恒成立,
.
由题意,,
可得,
即,
因为,故
解得,
∴或
.
即所求的取值范围是
.
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【题目】设是给定的平面向量,且为非零向量,关于
的分解,有如下
个命题:
① 给定向量,总存在向量
,使得
;
② 给定不共线向量和
,总存在实数
和
,使得
;
③ 给定向量和整数
,总存在单位向量
和实数
,使得
;
④ 给定正数和
,总存在单位向量
和单位向量
,使得
;
若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线,则其中真命题的序号为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱AB和CD的中点,一个平面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MN⊥平面EFGH.给出下列六个结论:①AC⊥BD,②AB//平面EFGH,③平面ABC⊥平面EFGH,④四边形EFGH的周长为定值;⑤四边形EFGH的面积有最大值;⑥四边形EFGH一定是矩形,其中,所有正确结论的序号是_____.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}满足:,且an+1
(n=1,2…)集合M={an|
}中的最小元素记为m.
(1)若a1=20,写出m和a10的值:
(2)若m为偶数,证明:集合M的所有元素都是偶数;
(3)证明:当且仅当时,集合M是有限集.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,椭圆C:的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于A、B两点,直线n:x=4与x轴相交于点E,点M在直线n上,且满足BM∥x轴.
(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)证明:直线AM经过线段EF的中点.
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